TEORIA
El péndulo simple (también llamado péndulo matemático o péndulo ideal) es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo o mediante un hilo inextensible y sin peso. Naturalmente es imposible la realización práctica de un péndulo simple, pero si es accesible a la teoría.
El péndulo simple o matemático se denomina así en contraposición a los péndulos reales, compuestos o físicos, únicos que pueden construirse.
Ecuación del movimiento
Método de Newton
Consideremos un péndulo simple, como el representado en la Figura. Si desplazamos la partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un ángulo Θ con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del reposo, el péndulo oscilará en un plano vertical bajo la acción de la gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas Θ y -Θ, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud, L, del hilo. El movimiento es periódico, pero no podemos asegurar que sea armónico.
Para determinar la naturaleza de las oscilaciones deberemos escribir la ecuación del movimiento de la partícula.
La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: su propio peso (mg) y la tensión del hilo (N), siendo la fuerza motriz la componente tangencial del peso. Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos:
siendo at, la aceleración tangencial y donde hemos incluido el signo negativo para manifestar que la fuerza tangencial tiene siempre sentido opuesto al desplazamiento (fuerza recuperadora).
Al tratarse de un movimiento circular, podemos poner
siendo "theta" la aceleración angular, de modo que la ec. dif. del movimiento es:
Esta ec. dif. no corresponde a un movimiento armónico simple (m.a.s.) debido a la presencia de la función seno, de modo que podemos asegurar que el movimiento del péndulo simple no es armónico simple, en general.
Pequeñas oscilaciones
Si consideramos tan sólo oscilaciones de pequeña amplitud, de modo que el ángulo θ sea siempre suficientemente pequeño, entonces el valor del senθ será muy próximo al valor de θ expresado en radianes (senθ ≈ θ, para θ suficientemente pequeño), como podemos apreciar en la Tabla I, y la ec. dif. del movimiento se reduce a
que es idéntica a la ec. dif. correspondiente al m.a.s., refiriéndose ahora al movimiento angular en lugar de al movimiento rectilíneo, cuya solución es:
siendo ω la frecuencia angular de las oscilaciones, a partir de la cual determinamos el período de las mismas:
Instrumento gravimétrico
El péndulo simple se utilizó en las primeras determinaciones precisas de la aceleración producida por la gravedad, debido a que tanto el periodo de las oscilaciones como la longitud de la cuerda pueden determinarse con facilidad. Podemos expresar g en función de T y L:
Ejemplo: Un péndulo simple se usa para medir la aceleración de la gravedad, usando T=2π√(1/g , el periodo T medido fue de (1.24±0.02) s. Y la longitud de (0.381±0.002) m. ¿Cuál es el valor resultante de g con 50% de incertidumbre absoluta y relativa?
T^2 = 4 π^2 l / g
g = 4 π^2 l / T^2
g = 4 π^2 0.381 / (1.24)^2 = 15.641 / 1.5376 = 9.7821 m/s^2
∆g = (∆l/l +2 ∆T/T) g
∆g = [(0.002/0.381) + 2 (0.02/1.24)] 9.7821 = 0.36 m/s^2
g = 9.78±0.36 m/s^2
CODIGO EN DEVC++
#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;
int main()
{
//(1)FORMULA DE LA FUERZA TANGENCIAL
//DECLARACION
int m, theta;
double g, PI=3.141592, RAD, Fuerza_Tan;//Gravedad en double para poner 9.81
cout<<"(1): FORMULA DE LA FUERZA TANGENCIAL"<< endl;
cout<<"*************************************"
<< endl;
//ASIGNACION
cout<<"Ingrese la masa:"; cin>>m;
cout<<"Ingrese la gravedad:"; cin>>g;
cout<<"Ingrese el angulo generado por el pendulo:"; cin>>theta;
//PROCESO
RAD=(2*PI*theta)/360;
Fuerza_Tan=-m*g*sin(RAD);
//RESULTADO
cout<<"La Fuerza Tangencial del pendulo es:" << Fuerza_Tan << endl;
//(2)FORMULA DE LA FRECUENCIA ANGULAR EN PEQUEÑAS OSCILACIONES
//DECLARACION
int L;
double Frec_Ang;
cout<<"(2): FORMULA DE LA FRECUENCIA ANGULAR EN PEQUEÑAS OSCILACIONES"<<endl;
cout<<"**************************************************************"<<endl;
//ASIGNACION
cout<<"Ingrese la gravedad:"; cin>>g;
cout<<"Ingrese la longitud:"; cin>>L;
//PROCESO
Frec_Ang=sqrt(g/L);
//RESULTADO
cout<<"La Frecuencia Angular es:" << Frec_Ang << endl;
//(3)FORMULA DEL PERIODO
//DECLARACION
double T;
cout<<"(3): FORMULA DEL PERIODO EN PEQUEÑAS OSCILACIONES"<<endl;
cout<<"**************************************************"<<endl;
//ASIGNACION
cout<<"Ingrese la longitud:"; cin>>L;
cout<<"Ingrese la gravedad:"; cin>>g;
//PROCESO
T=2*PI*sqrt(L/g);
//RESULTADO
cout<<"El Periodo es:" << T << endl;
//(4)FORMULA DE INSTRUMENTO GRAVIMETRICO
//DECLARACION
int Periodo;
double G;
cout<<"(4): FORMULA DE INSTRUMENTO GRAVIMETRICO"<<endl;
cout<<"****************************************"<<endl;
//ASIGNACION
cout<<"Ingrese la longitud:"; cin>>L;
cout<<"Ingrese el Periodo:"; cin>>Periodo;
//PROCESO
G=4*pow(PI,2)*((L)/pow(Periodo,2));
//RESULTADO
cout<<"La Aceleracion producida por la Gravedad es:" << G << endl;
system ("pause");
return 0;
//FIN PROGRAMA
}
PRUEBA
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